Was ist Beugung?

Beugung von Licht

Licht ist faszinierend: Reine Dynamik in höchster Geschwindigkeit, nach menschlichem Empfinden „sofort“. Eine Glühbirne erleuchtet „sofort“ das ganze Zimmer. Darüber hinaus bewegt sich Licht nicht einfach wie andere Dinge des menschlichen Alltags, da es aus Quanten, genauer den Photonen, besteht. Deshalb unterliegt es dem Welle-Teilchen-Dualismus: Es kann als Welle und als Teilchen aufgefasst werden.

Wenn Licht auf ein gewöhnlich großes Objekt trifft, gibt es Schattenbildung und Lichteffekte, wie wir sie im Alltag kennen. Aber wenn es auf sehr kleine bzw. scharfe Strukturen fällt, ist das anders. Dann wird plötzlich die Quantennatur merklich. Das ist vergleichbar mit den „Menschen“ auf der Erde: Sieht man sich die Erde im Großen an, sieht man nur die Auswirkungen vieler Menschen (oder der Menschheit), aber wenn man z.B. ein einzelnes Zimmer ansieht, sieht man die Wirkung einzelner Menschen. So hängt auch die beobachtete Wirkung von Licht davon ab, wie groß die betrachteten Strukturen sind.

Warum entsteht Beugung? Was ist Beugung?

In bestimmten Fällen wird die einfache geometrische Ausbreitung des Lichtes aufgehoben. Speziell erwartet man eine Abweichung von der geometrischen Optik in unmittelbarer Nachbarschaft eines Schattenrandes, sowie in Gebieten, in denen sich eine große Anzahl von Strahlen treffen. Diese Abweichung erkennt man an der Erscheinung von dunklen und hellen Bereichen, den Beugungsrändern.

Beugung läßt sich erst mit der Entdeckung der Wellennatur des Lichtes erklären. Die Beugungstheorie beschäftigt sich in erster Linie mit dem elektromagnetischen Feld in den obigen Gebieten. Interessiert man sich für die Beugungsphänomene an einem bestimmten beugenden Objekt, so studiert man am einfachsten das entstandene Beugungsbild, welches experimentell auf einem Schirm hinter dem beleuchteten Objekt (Blende) abgebildet, oder mit Hilfe der Beugungstheorie berechnet werden kann.

Mich interessiert schon lange die Frage nach der Beugung von Licht an möglichst allgemeinen zweidimensionalen Objekten. Diese lässt sich zum Teil berechnen, simulieren. Wie es der Natur des Lichtes entspricht, ergeben sich faszinierende Bilder, sogenannte Beugungsbilder.

Beugungstheorie

Huygens-Fresnel-Prinzip

Unter den verschiedenen theoretischen Ansätzen zur Erklärung von Beugung ist das Huygens-Fresnel-Prinzip das grundlegendste. Nach Huygens Konstruktion kann man jeden Punkt einer Wellenfront als Zentrum einer Sekundärstörung betrachten, von der sphärische Elementarwellen ausgehen. Die fortschreitende Wellenfront ergibt sich als Einhüllende dieser Elementarwellen. Fresnel gelang es, mit diesem Prinzip Beugungsphänomene zu erklären, indem er postulierte, daß die entstandenen Elementarwellen wechselseitig interferieren. Diese Kombination der Huygenschen Konstruktion mit dem Prinzip der Interferenz nennt man das Huygens-Fresnel-Prinzip. Dieses Prinzip gibt die Ausbreitung des Lichts im freien Raum korrekt wieder.

Geht es um die Berechnung bzw. Simulation von Beugungsbildern, reicht dieser einfache Ansatz nicht aus. Ein Grund ist, dass man eine unendliche Anzahl von Elementarwellen auf dem Computer nicht einfach umsetzen kann. Um also Beugung an möglichst allgemeinen zweidimensionalen Objekten zu simulieren, muss man eine mathematische Weiterentwicklung dieses Ansatzes nutzen. Die einfachste Möglichkeit einer grundsätzlichen Verbesserung des theoretischen Ansatzes liegt darin, entweder ein besseres numerisches Verfahren zur Berechnung des Wellenfeldes zu benutzen, oder ein analytisches Verfahren mit Computerunterstützung einzusetzen. Da analytische Lösungen nur unter Einschränkungen an die simulierte Beugungsart zur Verfügung stehen, geht es mir hier nicht um die allgemeine Berechnung von Beugungsbildern, sondern spezielle Fälle. Dies ist insbesondere die in der Optik bedeutende Fraunhofersche Beugungsart.

Fraunhofersche Beugung

Die grundlegende Idee des Huygens-Fresnel-Prinzips ist, daß die Lichtstörung in einem Punkt von der Superposition der Sekundärwellen herrührt, welche von einer Oberfläche zwischen diesem Punkt und der Lichtquelle ausgehen. Kirchhoff zeigte, daß man dieses Prinzip als Näherungsform des sogenannten Integraltheorems betrachten kann. Unter gewissen Annahmen und Näherungen erhält man einen integralen Ausdruck für das Wellenfeld. Zu diesen Näherungen gehört vor allem die sogenannte Kirchhoffsche Randbedingung, die sich auf die Beugung des Lichts an einer Öffnung bezieht. Sie besagt, daß sich das Wellenfeld innerhalb der Öffnung nicht merklich von den Werten unterscheidet, die man ohne das Hindernis erhalten würde, außer in unmittelbarer Nachbarschaft des Öffnungsrandes. Des weiteren soll das Wellenfeld auf der undurchlässigen Fläche des Hindernisses verschwinden. So stößt man zunächst auf die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungsformel:

fresnel-kirchhoffsche-beugungsformel

Für die in der Optik wichtigeren Fraunhofersche Beugungsart macht man Vereinfachungen. Zum Beispiel nimmt man an, dass die Ausdehnung der Öffnung klein gegen die Abstände der Punktquelle ist. In der weiteren Rechnung vernachlässigt man Terme quadratischer und höherer Ordnung in X und Y.  Für die Fraunhofersche Beugung kann man das obige Integral damit vereinfachen und auf eine Fouriertransformation zurück führen.

Mit Hilfe der Fraunhoferschen Beugung lassen sich zunächst die komplexen Wellenfelder, und damit auch die Beugungsbilder einfacher zweidimensionaler geometrischer Objekte, wie Rechteck, Dreieck oder Kreis analytisch berechnen. Auch Kombinationen lassen sich so analytisch berechnen.

Solche simulierten Beugungbilder von zweidimensionalen Spalten findet man hier.

Dazu gehören:

SH, 11.2016