Was ist Beugung?

Was ist Beugung? – Licht “at its best”

Licht ist faszinierend. Reine Dynamik in mitunter höchster Geschwindigkeit. Nach menschlichem Empfinden ist Licht „sofort“ da. Eine Glühbirne erleuchtet in diesem Sinne „sofort“ das ganze Zimmer. Darüber hinaus bewegt sich Licht nicht einfach wie andere Dinge des menschlichen Alltags, da es aus Quanten (genauer: den Photonen) besteht. Deshalb unterliegt es dem Welle-Teilchen-Dualismus. Es kann also als Welle und als Teilchen aufgefasst werden. Damit lässt sich auch die Frage “Was ist Beugung?” beantworten.

Wenn Licht auf ein gewöhnlich großes Objekt trifft, gibt es Schattenbildung und Lichteffekte. So kennen wir sie auch im Alltag. Aber wenn es auf sehr kleine bzw. scharfe Strukturen fällt, ist das anders. Dann wird plötzlich die Quantennatur merklich. Das ist vergleichbar mit den „Menschen“ auf der Erde: Sieht man sich die Erde im Großen an, so sieht man nur die Auswirkungen vieler Menschen, oder der Menschheit. Aber wenn man z.B. ein einzelnes Zimmer ansieht, sieht man die Wirkung einzelner Menschen. In dieser Art hängt auch die beobachtete Wirkung von Licht davon ab, wie groß die betrachteten Strukturen sind.

Warum entsteht Beugung?

In bestimmten Fällen wird die einfache geometrische Ausbreitung des Lichtes aufgehoben. Insbesondere erwartet man eine Abweichung von der geometrischen Optik in unmittelbarer Nachbarschaft eines Schattenrandes. Ebenso in Gebieten, in denen sich eine große Anzahl von Strahlen treffen. Diese Abweichung erkennt man an der Erscheinung von dunklen und hellen Bereichen, den Beugungsrändern.

Die Wellennatur

Beugung läßt sich tatsächlich erst mit der Entdeckung der Wellennatur des Lichtes erklären. Die Beugungstheorie beschäftigt sich in erster Linie mit dem elektromagnetischen Feld in den obigen Gebieten. Interessiert man sich für die Beugungsphänomene an einem bestimmten beugenden Objekt, so studiert man am einfachsten das entstandene Beugungsbild. Dieses lässt sich experimentell auf einem Schirm hinter dem beleuchteten Objekt (der Blende) abbilden oder mit Hilfe der Beugungstheorie berechnen.

Mich interessiert schon lange die Frage nach der Beugung von Licht an möglichst allgemeinen zwei dimensionalen Objekten. Diese lässt sich zum Teil berechnen, simulieren. Wie es der Natur des Lichtes entspricht, ergeben sich faszinierende Bilder, sogenannte Beugungsbilder.

Beugungstheorie

Huygens-Fresnel-Prinzip

Unter den verschiedenen theoretischen Ansätzen zur Erklärung von Beugung ist das Huygens-Fresnel-Prinzip (oder kurz: Huygenssche Prinzip) das grundlegendste. Nach Huygens Konstruktion kann man jeden Punkt einer Wellenfront als Zentrum einer Sekundärstörung betrachten, von der sphärische Elementarwellen ausgehen. Die fortschreitende Wellenfront ergibt sich als Einhüllende dieser Elementarwellen. Fresnel gelang es, mit diesem Prinzip Beugungsphänomene zu erklären, indem er postulierte, daß die entstandenen Elementarwellen wechselseitig interferieren. Diese Kombination der Huygenschen Konstruktion mit dem Prinzip der Interferenz nennt man das Huygens-Fresnel-Prinzip. Dieses Prinzip gibt die Ausbreitung des Lichts im freien Raum korrekt wieder.

Geht es um die Berechnung bzw. Simulation von Beugungsbildern, reicht dieser einfache Ansatz nicht aus. Ein Grund ist, dass man eine unendliche Anzahl von Elementarwellen auf dem Computer nicht einfach umsetzen kann. Um also Beugung an möglichst allgemeinen zweidimensionalen Objekten zu simulieren, muss man eine mathematische Weiterentwicklung dieses Ansatzes nutzen. Die einfachste Möglichkeit einer grundsätzlichen Verbesserung des theoretischen Ansatzes ist folgende. Entweder benutzt man ein besseres numerisches Verfahren zur Berechnung des Wellenfeldes. Oder man setzt ein analytisches Verfahren mit Computerunterstützung ein. Analytische Lösungen stehen nur unter Einschränkungen an die simulierte Beugungsart zur Verfügung. Daher geht es mir hier nicht um die allgemeine Berechnung von Beugungsbildern, sondern um spezielle Fälle. Dies ist insbesondere die in der Optik bedeutende Fraunhofersche Beugung.

Fraunhofersche Beugung

Die Theorie

Die grundlegende Idee des Huygens-Fresnel-Prinzips ist dabei, daß die Lichtstörung in einem Punkt von der Superposition der Sekundärwellen herrührt. Diese gehen währenddessen von einer Oberfläche zwischen diesem Punkt und der Lichtquelle aus. Der Physiker Kirchhoff zeigte, daß man dieses Prinzip als Näherungsform des sogenannten Integraltheorems betrachten kann. Unter gewissen Annahmen und Näherungen erhält man einen integralen Ausdruck für das Wellenfeld. Zu diesen Näherungen gehört mitunter vor allem die sogenannte Kirchhoffsche Randbedingung. Diese bezieht sich insbesondere auf die Beugung des Lichts an einer Öffnung. Sie besagt indes, daß sich das Wellenfeld innerhalb der Öffnung nicht merklich von den Werten unterscheidet, die man ohne das Hindernis erhalten würde. Außer man befindet sich in unmittelbarer Nachbarschaft des Öffnungsrandes. Des weiteren soll das Wellenfeld auf der undurchlässigen Fläche des Hindernisses verschwinden. So stößt man zunächst auf die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungsformel:

Was ist Beugung?

Vereinfachungen

Für die in der Optik wichtigeren Fraunhofersche Beugungsart macht man darüber hinaus Vereinfachungen. Zum Beispiel nimmt man an, dass die Ausdehnung der Öffnung klein gegen die Abstände der Punktquelle ist. In der weiteren Rechnung vernachlässigt man währenddessen Terme quadratischer und höherer Ordnung in X und Y.  Für die Fraunhofersche Beugung kann man das obige Integral damit vereinfachen und schließlich auf eine Fouriertransformation zurück führen.

Die Berechnung

Mit Hilfe der Fraunhoferschen Beugung lassen sich weiterhin die komplexen Wellenfelder berechnen. Damit kann man folglich auch die Beugungsbilder einfacher zweidimensionaler geometrischer Objekte (wie Rechteck, Dreieck oder Kreis) analytisch berechnen. Auch Kombinationen lassen sich so folgerichtig analytisch berechnen. Ich selbst habe vor etwa 20 Jahren ein Java-Programm geschrieben, dass diese Aufgabe indes erfüllt:

Beispiele

Einige weitere Beispiele für solche simulierten Beugungbilder von zweidimensionalen Spalten findet man hier.

Dazu gehören:

SH, 11.2016

Update: 11.2019